Bew v. Integal(c dx)|[a,b]=b-a < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe eine Frage:
wie kann ich auf analytische Weise beweisen, dass das Riemann-Integral über einer Konstanten gleich der oberen - der unteren Grenze ist.
$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {1 dx}= (b-a)$ ist?
Dies brauche ich zum Beweis von dem Haupsatz der Differential und Integralrechnung. Verusche mittels Mittelwertsatz sind leider gescheitert. (In meinem Mathe-Skript steht dazu leider nichts.)
Hoffe es kann mir jemand helfen.
mfg,
martin
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Hi,
Dir ist doch bekannt, daß
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} = F(b) - F(a) ist
Dann wäre es nämlich ganz einfach, denn die Aufleitung von 1 ist x und dann könntest du einfach die Grenzen einsetzen und hättest deine Behauptung.
Liebe Grüße
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Britta,
> Dir ist doch bekannt, daß
>
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {f(x) dx} = F(b) - F(a) ist
>
> Dann wäre es nämlich ganz einfach, denn die Aufleitung von
> 1 ist x und dann könntest du einfach die Grenzen einsetzen
> und hättest deine Behauptung.
Das ist aber gerade der Hauptsatz der I+D-Rechnung, den Martin ja beweisen will 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Martin,
> ich habe eine Frage:
> wie kann ich auf analytische Weise beweisen, dass das
> Riemann-Integral über einer Konstanten gleich der oberen -
> der unteren Grenze ist.
Die Konstante muss aber schon 1 sein, ansonsten ist es natürlich "Konstante*(obere-untere Grenze)".
> [mm]\integral_{a}^{b} {1 dx}= (b-a)[/mm] ist?
Wenn du den Hauptsatz nicht verwenden willst, musst du es eben über die Definition des Riemann-Integrals machen.
Habt Ihr das mit Ober- und Untersummen gemacht?
In diesem Fall würde sich als Ober- und Untersumme eine Teleskopreihe ergeben, die sich gerade zu b-a auflöst.
Viele Grüße,
Marc
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Vielen Dank für die Antwort.
> Die Konstante muss aber schon 1 sein, ansonsten ist es
> natürlich "Konstante*(obere-untere Grenze)".
>
ja, schon klar, wollte zuerst integral über c, habe aber dann satz mit bewies gefunden, dass man c vor integral schreiben kann, damit hat sich alles auf 1 dx geändert, sry habe ich übersehen.
> > [mm]\integral_{a}^{b} {1 dx}= (b-a)[/mm] ist?
>
> Wenn du den Hauptsatz nicht verwenden willst, musst du es
> eben über die Definition des Riemann-Integrals machen.
> Habt Ihr das mit Ober- und Untersummen gemacht?
>
> In diesem Fall würde sich als Ober- und Untersumme eine
> Teleskopreihe ergeben, die sich gerade zu b-a auflöst.
Definition von Riemann-Integral haben wir zwar über die Riemannsche Summe (Summe über Zwischenpunkte und deren Intervalle, aber mit Ober- und Untersumme finde ich leider nichts im Skript.
Dafür habe ich jetzt eine (unbewiesene) Bemerkung in meinem Skript gefunden (welche aufbauend auf dem Mittelwertsatz der Integralrechnung) aussagt dass:
$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx}= (b-a) [mm] f(\psi) [/mm] , [mm] \psi \in [/mm] [a,b]$
ist, damit wäre der Beweis [mm]\integral_{a}^{b} {1 dx}= (b-a)[/mm], nicht mehr schwer.
Leider habe ich auch für diese Folgerung des Mittelwertsatzes keine (brauchebaren) Beweis gefunden (mir ist einfach unklar von wo her der Term (b-a) kommt, der Mittelwertsatz selbst ist mir klar. Vielleicht kennt jemand einen Link?)
Vielen Dank an alle!
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Plantronics!
Den Mittelwertsatz der Integralrechnung hier ins Spiel zu bringen, ist sicherlich keine gute Idee, da man für dessen Beweis den Fundamentalsatz (oder Ableger davon) benötigt, die du gerade beweisen möchtest.
Bleiben wir doch mal bei den Riemannschen Summen:
Salopp (!) geschrieben haben wir ja mit einer Folge von Zerlegungen
[mm] $a=t_0^n [/mm] < [mm] t_1^n [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_n^n=b$
[/mm]
und
[mm] $\delta_n:=\max(t_{i}^n [/mm] - [mm] t_{i-1}^n)$
[/mm]
sowie Zwischenpunkten mit [mm] $\xi_i^n \in [t_{i-1}^n,t_i^n]$:
[/mm]
:
[mm] $\int\limits_a^b f(x)\, [/mm] dx = [mm] \lim\limits_{\delta_n \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i^n)(t_i^n-t_{i-1}^n)$
[/mm]
(bitte schreibe das dann sauberer auf, also mit den genauen Bezeichnungen der Riemannschen Summe etc.)
Nun haben wir aber für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und speziell $f [mm] \equiv [/mm] 1$
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi^n)(t_i^n-t_{i-1}^n) [/mm] = [mm] 1\cdot \sum\limits_{i=1}^n (t_i^n [/mm] - [mm] t_{i-1}^n) [/mm] = b-a$,
da es sich um eine Teleskopsumme handelt. Dann gilt aber auch für den Grenzwert natürlich
[mm] $\int\limits_a^b 1\, [/mm] dx = [mm] \lim\limits_{\delta_n \to 0} \sum\limits_{i=1}^n (t_i^n-t_{i-1}^n) [/mm] = b-a$,
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
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